Lời giải:
a. Xét tam giác $ABC$ và $HBA$ có:
$\widehat{B}$ chung

$\widehat{BAC}=\widehat{BHA}=90^0$

$\Rightarrow \triangle ABC\sim \triangle HBA$ (g.g)

Ta có:
$AB.AC=AH.BC$ (cùng bằng 2 lần diện tích tam giác $ABC$)

b. 

Xét tam giác $BHA$ và $AHC$ có:

$\widehat{BHA}=\widehat{AHC}=90^0$

$\widehat{HBA}=\widehat{HAC}$ (cùng phụ góc $\widehat{BAH}$)

$\Rightarrow \triangle BHA\sim \triangle AHC$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{BH}{HA}=\frac{AH}{HC}$

$\Rightarrow AH^2=BH.CH$.

Hình vẽ:

a: Xet ΔABC vuông tại A và ΔHAC vuông tạiH có

góc ACB chung

=>ΔABC đồng dạng với ΔHAC

=>CA/CH=CB/CA

=>CA^2=CH*CB

b: AE/HE=CA/CH

BD/AD=CB/CA

mà CA/CH=CB/CA

nên AE/HE=BD/AD

=>AE*AD=HE*BD

a: Xet ΔABC và ΔHBA có

góc B chung

góc BAC=góc BHA

=>ΔABC đồg dạng với ΔHBA

b: ΔABC vuông tại A mà AH là đường cao

nên HA^2=HB*HC

c: Xet ΔCAD vuông tại A và ΔCHE vuông tai H co

góc ACD=góc HCE

=>ΔCAD đồng dạng với ΔCHE

=>\(\dfrac{S_{CAD}}{S_{CHE}}=\left(\dfrac{CA}{CH}\right)^2=\left(\dfrac{8}{6,4}\right)^2=\left(\dfrac{5}{4}\right)^2=\dfrac{25}{16}\)

Áp dụng pytago vào \(\Delta ABC\) vuông ta đc

\(BC^2=AB^2+AC^2=\sqrt{117}\left(3\sqrt{13}\right)\) 

Mà AD là phân giác \(\widehat{BAC}\) 

\(\Rightarrow BD=CD=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{3\sqrt{13}}{2}\)

.-. Cần phần `c` th 

a)Ta có:`AB^2+AC^2=21^2+28^2=1225`

Mà `BC^2=1225`

Áp udnjg định lý ppytago đảo vào tam giác ABC có:`AB^2+AC^2=BC^2=1225`

`=>` tam giác ABC vuông

b)Vì BAC vuông tại A

`=>hat{BAC}=90^o`

`=>hat{HAB}=hat{HCA}=90^o-hat{HAC}`

Xét  tam giác HBA và tam giác HAC có"

`hat{HAB}=hat{HCA}`(CMT)

`hat{BHA}=hat{HAC}=90^o`

`=>`  tam giác HBA đồng dạng với tam giác HAC(gg)

c)Xét tam giác ACH và tam giác BAC ta có:

`hat{AHC}=hat{BAC}=90^o`

`hat{ACB}` chung

`=>DeltaACH~DeltaBAC(gg)`

`=>(AC)/(BH)=(BC)/(AC)`

`=>AC^2=BH.BC`.

d)Đường phân góc gì nhỉ?

a) Xét ΔAHB vuông tại H và ΔCAB vuông tại A có 

\(\widehat{ABH}\) chung

Do đó: ΔAHB\(\sim\)ΔCAB(g-g)

b) Xét ΔAHB vuông tại H và ΔCHA vuông tại H có

\(\widehat{BAH}=\widehat{ACH}\left(=90^0-\widehat{ABH}\right)\)

Do đó: ΔAHB\(\sim\)ΔCHA(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{HB}{HA}\)

hay \(AH^2=HB\cdot HC\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=6^2+8^2=100\)

hay BC=10(cm)

Ta có: ΔAHB\(\sim\)ΔCAB(cmt)

nên \(\dfrac{AH}{CA}=\dfrac{HB}{AB}=\dfrac{AB}{CB}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{AH}{8}=\dfrac{HB}{6}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}\)

Suy ra: AH=4,8cm; HB=3,6cm

1: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHBA vuông tại H có

góc B chung

Do đó: ΔABC\(\sim\)ΔHBA

2 Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC\)